Préchauffez le four à 200°C. Lavez bien les pommes de terre et taillez-les en quartiers. Dans le bol, mélangez-les avec 1/2 cs d'huile d’olive par personne, du sel et du poivre. Disposez-les sur la plaque de cuisson recouverte de papier sulfurisé et enfournez-les 30 à 35 minutes.

Émincez 1/4 de l'oignon très finement. Battez un demi-œuf par personne dans le bol. Dans le grand bol, mélangez le mélange d'épices pour hamburger, le fromage râpé, l’oignon émincé ainsi que 1 cs d’œuf battu et 1 cs de lait par personne. Ajoutez éventuellement un peu de lait si le mélange semble trop sec. Laissez-le durcir 15 minutes au réfrigérateur.

Pendant ce temps, préparez la vinaigrette dans le saladier en mélangeant l’huile d’olive vierge extra, 1 cc de mayonnaise par personne et le vinaigre balsamique blanc. Taillez le poivron en fines lamelles. Mélangez le poivron et le mesclun à la vinaigrette, mais réservez un peu de mesclun pour en garnir le pain.

Formez un burger par personne à partir du mélange réservé au réfrigérateur. Faites chauffer 1/4 cs d’huile d’olive par personne à feu moyen-vif dans la poêle. Lorsqu'elle est bien chaude, faites-y cuire les burgers 4 à 5 minutes de chaque côté. Pendant ce temps, faites chauffer 1/4 cs d’huile d’olive par personne dans l’autre poêle et faites-y cuire 1 œuf par personne. Salez et poivrez.

Pendant ce temps, enfournez les petits pains à la carotte 4 à 6 minutes avec les pommes de terre. Dans le petit bol, mélangez le reste de mayonnaise avec, par personne : 1cc de miel et 1 cc de moutarde.

Coupez les petits pains en deux et garnissez-les du mesclun réservé. Disposez le hamburger végétarien par-dessus et recouvrez-le de 1 cs de mayonnaise au miel et à la moutarde. Disposez l'œuf au plat dessus. Servez la salade, les pommes de terre et le reste de mayonnaise au miel et à la moutarde en accompagnement.