Préchauffez le four à 180 degrés. Dans le grand bol, mélangez la viande hachée, un demi-jaune d’œuf par personne, le fromage et la moitié de la chapelure. Salez et poivrez. Malaxez bien jusqu’à ce que le mélange tienne bien. Formez 2 bonnes bûches par personne et placez-les au réfrigérateur jusqu'à utilisation.

Portez une grande quantité d'eau à ébullition dans 2 casseroles pour les pommes de terre et les carottes. Épluchez les pommes de terre ou lavez-les soigneusement, puis taillez-les en gros morceaux. Retirez les fanes des carottes - en laissant un peu de vert - et épluchez-les.

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Placez le reste de chapelure dans l'assiette creuse et le romarin dans le petit bol. Passez le côté de chaque bûche d'abord dans le romarin séché, puis roulez les bûches dans la chapelure. Faites chauffer 1/4 cs de beurre par personne dans la poêle à feu moyen-vif et dorer les bûches sur tous les côtés 2 à 3 minutes. Disposez-les ensuite dans le plat à four et enfournez-les 12 à 16 minutes.

Pendant ce temps, faites cuire les pommes de terre 12 à 15 minutes dans l'une des casseroles à couvert. Égouttez-les et réservez-les sans couvercle. Faites cuire les carottes avec une pincée de sel 6 à 8 minutes dans l'autre casserole. Ajoutez-y les mange-tout dans les 4 dernières minutes. Égouttez, rincez à l'eau froide et réservez sans couvercle.

Faites chauffer 1/2 cs d’huile d’olive par personne à feu moyen-vif dans la poêle. Ajoutez les carottes et les mange-tout et faites-les cuire 1 minute. Arrosez-les avec ½ cs de vinaigre balsamique blanc par personne, puis salez et poivrez. Réduisez les pommes de terre en purée. Ajoutez 1/2 cs de beurre par personne et un filet de lait pour l'onctuosité. Ajoutez ensuite 1 cc de moutarde. Salez et poivrez à votre goût.

Servez les bûches et la purée de pommes de terre sur les assiettes. Accompagnez des mange-tout et des carottes.